Question

17．已知f（x）=16^x-2×4^x+5，x∈[-1，2]．
（1）设t=4^x，x∈[-1，2]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由指数函数的单调性，即可求得t的最值；
（2）令t=4^x，（$\frac{1}{4}$≤t≤16）原式变为：y=t²-2t+5=（t-1）²+4，求出对称轴t=1，讨论和区间的关系，即可得到所求最值．

解答 解：（1）由t=4^x在[-1，2]是单调增函数，
即有x=2时，t取得最大值为16，x=-1时，t取得最小值为$\frac{1}{4}$；
（2）令t=4^x，（$\frac{1}{4}$≤t≤16）原式变为：
y=t²-2t+5=（t-1）²+4，
当t=1时，此时x=1，f（x）取得最小值4；
当t=16时，此时x=2，f（x）取得最大值229．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．