Question

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，点F在CE上，且平面ACE。

（I）求证：平面BCE；
（II）求二面角B—AC—E的正弦值；
（III）求点D到平面ACE的距离。

Answer 1

在直角三角形BCE中，CE=
在正方形ABCD中，BG=，在直角三角形BFG中，---9分
（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，
D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，
线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离.
故D到平面的距离为.------------------------------13分
另法：用等体积法亦可。
解法二：（Ⅰ）同解法一. ----------------------------------- 4分
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为z轴，AB所在直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，
则
令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，   
∴二面角B—AC—E的正弦值为--------------------------------9分

略