Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（10）=1，
②对任意实数b，f（x^b）=bf（x）．
（1）求f（1），f（

1

2

），f（

1

4

），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数．

Answer 1

（1）∵对任意实数b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，
∴f（1）=f（10⁰）=0×1=0，
f（

1

2

）=f（10^lg

1

2

）=lg

1

2

×1=lg

1

2

f（

1

4

）=f[（

1

2

）²]=2f（

1

2

）=2lg

1

2

．
因为f（k-1002）=f（10^{lg（k-1002）}）=lg（k-1002）=lg1002
∴k=2004．
（2）设x，y∈（0，+∞），
当x≠1时，
f（xy）=f（x•xlogxy）
=x1+logxy
=（1+log_xy）f（x）
=f（x）+log_xy•f（x）
=f（x）+f（xlogxy）
=f（x）+f（y）．
当x=1时，因为f（1）=0也适合，
故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因为x＞1时，
f（x）=f（10^lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，
设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，所以f（

x2

x1

）＞0．
由（2）知f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数