Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（2，1），它们在y轴上有一个公共焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（0，3），交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用待定系数法求出抛物线方程，再根据三条圆锥曲线有公共焦点，求出椭圆与双曲线中的c的值，利用椭圆与双曲线的定义，即可得到曲线方程．
（2）先假设存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，则以AP为直径的圆的圆心为A，P的中点，半径为AP长的一半，再利用圆中半径，半弦，弦心距构成的直角三角形即可判断．
解答：解：（1）设抛物线方程为x²=2py（p＞0），将M（2，1）代入方程得p=2．
所以抛物线方程为x²=4y．
由题意知，椭圆、双曲线的焦点为F₁（0，-1），F₂（0，1）．
设椭圆的方程为，则由椭圆定义得，
于是，．
所以椭圆的方程为．
设双曲线的方程为，则由双曲线定义得，
于是，．
所以双曲线的方程为．
（2）设A（x₁，y₁），则AP的中点C ．
设l'的方程为y=a，C到l'的距离为h，以AP为直径的圆半径为r，l'被圆截得的弦长为d．
则，，
因为点A（x₁，y₁）在抛物线x²=4y上，所以x₁²=4y₁．
由，
得d²=[x₁²+（y₁-3）²]-[（y₁+3）-2a]²=[4y₁+（y₁-3）²]-[（y₁+3）-2a]²=4（a-2）y₁-4a²+12a．
当a=2时，d²=8，．
点评：本题主要考查了椭圆，双曲线，抛物线之间的关系，以及直线与圆位置关系的判断．