Question

已知a，b，x，y∈R，证明：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，并利用上述结论求（m²+4n²）（+）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．

Answer 1

【答案】分析：把 b²x²+a²y²≥2abxy 的两边同时加上a²x²+b²y²，即可得到（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立．
解答：证明：∵b²x²+a²y²≥2abxy，
∴a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy，
即（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立．
由不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，
知（m²+4n²）（+）
当且仅当m²=n²时，等号成立，
即（m²+4n²）（+）的最小值为25．
点评：本题主要考查用综合法证明不等式，属于中档题．