Question

（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，当且仅当

a

x

=

b

y

时等号成立；
（2）求函数f(x)=

1

3-tan2x

+

9

8+sec2x

的最小值，并指出取最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）欲证

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，即证：(

a2

x

+

b2

y

)(x+y)≥(a+b) 2．利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数相等即可证明得到；
（2）注意到sec²x-tan²x=1，利用（1）的结论，将（2）变形为f(x)=

1 2

3-tan2x

+

3 2

8+sec2x

即可．

解答：解：（1）应用二元均值不等式，得 (

a2

x

+

b2

y

)(x+y)=a2+b2+a2

y

x

+b2

x

y

≥a2+b2+2

a2 y x b2 x y

=（a+b）²，
故

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

．
当且仅当 a2

y

x

=b2

x

y

，即

a

x

=

b

y

时上式取等号．
（2）由（1）f(x)=

1 2

3-tan2x

+

3 2

8+sec2x

≥

(1+3) 2

11+1

=

4

3

．
当且仅当

1

3-tan2x

=

3

8+sec2x

，即 x=kπ，k∈Z时上式取最小值，即[f（x）]_min=

4

3

．

点评：本题考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．