Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，斜率为

4

3

的直线交抛物线于A，B两点，若

AF

=λ

FB

(λ＞1)，则λ的值为（　　）

• A．5
• B．4
• C．

  4

  3

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

AF

=λ

FB

，利用向量相等可得λ=

-y1

y2

．设直线AB的方程为y=

4

3

(x-

p

2

)，与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，进而解出．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

AF

=λ

FB

得(

p

2

-x1，-y1)=λ(x2-

p

2

，y2)，故-y₁=λy₂，即λ=

-y1

y2

．
设直线AB的方程为y=

4

3

(x-

p

2

)，联立

y= 4 3 (x- p 2 ) y2=2px

，消元得y2-

3

2

py-p2=0．
∴y1+y2=

3

2

p，y₁y₂=-p²，
∴

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

9

4

，
即-λ-

1

λ

+2=-

9

4

．
又λ＞1，故λ=4．
故选B．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法，属于难题．