题目内容

(2010•武汉模拟)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于M、N两点,直线OM、ON(O为坐标原点)分别与准线l:x=-
p
2
相交于P、Q两点,则∠PFQ=(  )
分析:假设直线MN的方程与抛物线方程联立,判断MQ⊥PQ,NP⊥PQ,再利用抛物线的定义可得相等的角,进而可求∠PFQ=90°
解答:解:由题意,设直线MN的方程为:x=my+
p
2

代入抛物线y2=2px(p>0),可得y2-2mpy-p2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2
∵OM的方程为:y=
y1
x1
x
,ON的方程为:y=
y2
x2
x
,直线OM、ON(O为坐标原点)分别与准线l:x=-
p
2
相交于P、Q两点
P(-
p
2
,-
p2
y1
)
,∴Q(-
p
2
,-
p2
y2
)

y1y2=-p2
P(-
p
2
y2)
Q(-
p
2
y1)

∴MQ⊥PQ,NP⊥PQ,
∴∠MQF=∠QFO,∠NPF=∠PFO
∵过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于M、N两点
∴MQ=MF,NP=NF
∴∠MQF=∠MFQ,∠NFP=∠NPF
∴∠PFQ=90°
故选D.
点评:本题以抛物线为载体,考查抛物线的性质,考查抛物线的过焦点弦,计算要小心,属于中档题.
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