题目内容

甲、乙两只鸽子随机地飞入并排放置的6个小笼中的两个笼子（如图，其中数字代表笼子的序号）．
（I）求甲、乙所在笼子的序号至少有一个为奇数的概率；
（II）记X=“甲、乙之间的笼子个数”，求X的分布列与期望．

解：（I） $\text{[math]}$ ； …（4分）
（II）X所有可能的取值为：0，1，2，3，4．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

则 $\text{[math]}$ ．　 …（12分）
分析：（I）甲、乙所在笼子的序号至少有一个为奇数的概率，考查其对立事件的概率，故A表示“甲、乙所在笼子的序号至少有一个为奇数”，则 $\text{[math]}$ 表示“甲、乙所在笼子的序号均为偶数”，先求出对立事件的概率，再求事件A的概率．
（II）甲、乙之间的笼子个数个数ξ的取值可能是0，1，2，3，4，依次计算对应的概率，列出分布列，再由公式求出期望值．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考拨考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用．