题目内容
19．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是ABCD正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，E为AB上一个动点，当D1E+CE取得最小值$\sqrt{10}$时，三棱锥D1-ADE的外接球表面积为$\frac{40π}{9}$．
分析 画出几何体的图形，连接D1A延长至G使得AG=AD，连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，D1F，则D1F为D1E+CE的最小值，求出AA1=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{2}{3}$．三棱锥D1-ADE补成长方体，长宽高分别为1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$，其对角线长为$\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，可得三棱锥D1-ADE的外接球的半径，即可求出三棱锥D1-ADE的外接球表面积．
解答 
解：画出几何体的图形，连接D1A延长至G使得AG=AD
连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，则ABFG为正方形，
连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值：D1F=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{1+A{{A}_{1}}^{2}}+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AA1=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{2}{3}$．
三棱锥D1-ADE补成长方体，长宽高分别为1，$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$，其对角线长为$\sqrt{1+\frac{4}{9}+3}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴三棱锥D1-ADE的外接球的半径为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴三棱锥D1-ADE的外接球表面积为为$4π•\frac{10}{9}$=$\frac{40π}{9}$．
故答案为：$\frac{40π}{9}$．
点评 本题是中档题，考查正四棱柱表面距离的最小值问题，考查折叠与展开的关系，能够转化为平面上两点的距离是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
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| A． | -2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 2 | D． | 4 |
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| A． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$] | B． | [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$] | C． | [$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$] | D． | [$\frac{2π}{3}$，π] |
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| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ | C． | 3$\sqrt{2}$ | D． | $\frac{5}{2}$ |