Question

8．若存在α，β∈R，使得$\left\{{\begin{array}{l}{t={{cos}^3}β+\frac{α}{2}cosβ}\\{α≤t≤α-5cosβ}\end{array}}\right.$，则实数t的取值范围是[$-\frac{2}{3}$，1]．

Answer 1

分析 由α≤α-5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即$t≥\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$，令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$，则f′（t）=$\frac{4co{s}^{2}βsinβ（2cosβ-3）}{（2-cosβ）^{2}}$，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α-5cosβ，即$t≤\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$，令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$，则${f}^{′}（t）=\frac{cosβsinβ（-7cosβ+4co{s}^{2}β-20）}{（2-cosβ）^{2}}$．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．

解答 解：∵α≤α-5cosβ，
∴0≤-5cosβ．∴cosβ＜0．
∵α≤t，∴$t≥co{s}^{3}β+\frac{t}{2}cosβ$，即$t≥\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$．
令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$，则f′（t）=$\frac{-6co{s}^{2}βsinβ（2-cosβ）-2co{s}^{3}βsinβ}{（2-cosβ）^{2}}$=$\frac{4co{s}^{2}βsinβ（2cosβ-3）}{（2-cosβ）^{2}}$，
令f′（t）=0，则sinβ=0．
∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=$\frac{-2}{2+1}=-\frac{2}{3}$．
∵t≤α-5cosβ，∴α≥t+5cosβ．
∴$t≤co{s}^{3}β+\frac{t+5cosβ}{2}cosβ$即$t≤\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$．
令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$，则${f}^{′}（t）=\frac{cosβsinβ（-7cosβ+4co{s}^{2}β-20）}{（2-cosβ）^{2}}$．
令f′（t）=0，则sinβ=0．
当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=$\frac{-2+5}{2+1}=1$．
则实数t的取值范围是：[$-\frac{2}{3}$，1]．
故答案为：[$-\frac{2}{3}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换应用，考查了导数的综合运用，计算量大，具有一定的难度，是难题．