Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0）．P（x₀，y₀）为椭圆上一点，且PA⊥PF．
（1）若a=3，b=$\sqrt{5}$，求x₀的值；
（2）若x₀=0，求椭圆的离心率；
（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=$\frac{a^2}{c}$相切．

Answer 1

分析 （1）根据a，b，c的关系易得c=2，由PA⊥PF及$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{5}=1$，解得${x}_{0}=\frac{3}{4}$；
（2）联立条件x₀=0及PA⊥PF，计算得a²-c²=ac，所以e²+e-1=0，解之即可（注意舍去负值）．   
（3）联立$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，以及PA⊥PF得$（{x}_{0}+a）[{x}_{0}+\frac{a（{b}^{2}-ac）}{{c}^{2}}]=0$，解得${x}_{0}=-\frac{a（{a}^{2}-ac-{c}^{2}）}{{c}^{2}}$，计算可得PF=$\frac{{a}^{2}}{c}-c$，即得结论．

解答 解：（1）因为a=3，b=$\sqrt{5}$，所以c²=a²-b²=4，即c=2，
由PA⊥PF得，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-1$，即${{y}_{0}}^{2}=-{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}+6$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{5}=1$，所以$4{{x}_{0}}^{2}+9{x}_{0}-9=0$，
解得${x}_{0}=\frac{3}{4}$或x₀=-3（舍去）； 
（2）当x₀=0时，${{y}_{0}}^{2}={b}^{2}$，
由PA⊥PF得，$\frac{{y}_{0}}{a}•\frac{{y}_{0}}{-c}=-1$，
即b²=ac，故a²-c²=ac，
所以e²+e-1=0，解得$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值已舍）；   
（3）依题意，椭圆右焦点到直线$x=\frac{{a}^{2}}{c}$的距离为$\frac{{a}^{2}}{c}-c$，且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，①
由PA⊥PF得，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{o}}{{x}_{0}-c}=-1$，即${{y}_{0}}^{2}=-{{x}_{0}}^{2}+（c-a）{x}_{0}+ca$，②
由①②得，$（{x}_{0}+a）[{x}_{0}+\frac{a（{b}^{2}-ac）}{{c}^{2}}]=0$，
解得${x}_{0}=-\frac{a（{a}^{2}-ac-{c}^{2}）}{{c}^{2}}$或x₀=-a（舍去）．
所以PF=$\sqrt{（{x}_{0}-c）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{0}-c）^{2}-{{x}_{0}}^{2}+（c-a）{x}_{0}+ca}$=|a-$\frac{c}{a}{x}_{0}$|
=a+$\frac{c}{a}•\frac{a（{a}^{2}-ac-{c}^{2}）}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}-c$，
所以以F为圆心，FP为半径的圆与右准线$x=\frac{{a}^{2}}{c}$相切．

点评 本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分析能力与计算能力，属中档题．