Question

【题目】已知函数f（x）=（2x+1）er+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）≤0．则实数m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：依题意由f（x）≤0，得（2x+1）ex+1+mx≤0，即mx≤﹣（2x+1）ex+1 ． 设g（x）=mx，h（x）=﹣（2x+1）ex+1 ，
则h'（x）=﹣[2ex+1+（2x+1）ex+1]=﹣（2x+3）ex+1 ．
由h'（x）＞0得﹣（2x+3）＞0，即 ；
由h'（x）＜0得﹣（2x+3）＜0，即 ．
所以当 时，函数h（x）取得极大值．
在同一直角坐标系中作出y=h（x），y=g（x）的大致图象如图所示，
当m≥0时，满足g（x）≤h（x）的整数解超过两个，不满足条件．
当m＜0时，要使g（x）≤h（x）的整数解只有两个，
则需要满足 ，即 ，解得 ，
所以 ．
故选B．

【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．