Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1 ， E、F分别是CC1 ， BC的中点．
（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；
（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，

∴AF⊥BC．

又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴面ABC⊥面BB1C1C，

∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．

设AB=AA1=1，则 ，EF= ， ．

∴ = ，∴B1F⊥EF．

又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．

而B1F面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF

（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，

设AB=AA1=1，

则F（0，0，0），A（ ），B1（0，﹣ ，1），E（0，﹣ ， ），

， =（﹣ ， ，1）．

由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：

=（0， ，1）．

设平面B1AE的法向量为 ，

由 ，

取x=3，得 ．

设二面角B1﹣AE﹣F的大小为θ，

则cosθ=|cos＜ ＞|=| |= ．

由图可知θ为锐角，

∴所求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为 ．

【解析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．