Question

【题目】已知动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若点A（x0 ， y0）是直线x﹣y﹣4=0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N．
①求证：直线MN恒过定点；
②△AMN的面积S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切．

由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程：x2=4y

（2）

①证明：∵x2=4y，∴y′= ，设M（x1，y1），N（x2，y2），

曲线在点M的曲线方程为：y= x﹣y1，在点N处的曲线方程为：y= x﹣y2，

代入点A（x0，y0），可得直线MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，

∴直线MN恒过定点P（2，4）．

②解：联立 ，化为：x2﹣2x0x+4y0=0，

△= = 0，

∴x1+x2=2x0，x1x2=4x0﹣16．

∴|MN|= = ．

点A到直线MN的距离d= ．

∴S= d|MN|= ，

令t= = +12≥12，

则S≥ =12 ，当且仅当x0=2，y0=﹣2时，取等号．

∴△AMN的面积S的最小值为12

【解析】（1）动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程．（2）①x2=4y，可得y′= ，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），曲线在点M的曲线方程为：y= x﹣y1 ， 在点N处的曲线方程为：y= x﹣y2 ， 代入点A（x0 ， y0），可得直线MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，即可证明直线MN恒过定点．
②联立 ，化为：x2﹣2x0x+4y0=0，利用根与系数的关系可得|MN|= ．点A到直线MN的距离d= ．利用S= d|MN|，即可得出．