Question

已知椭圆，直线l：，P点是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足。当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。

Answer 1

解法一：设Q ，Q点不在原点，

         显然x,y不同是为零

         ①P点不在y轴时，即时

         ∵ R不在椭圆上

         ∴

         又∵

         ∵ P点在直线l上，∴

         解得：

         ∵

          

         ∵ x、y不同时为零

         ∴

         ∵ Q点与坐标原点O在直线l的同侧

         ∴

         则：

         即：

         ②P点在y轴上时，P（0，8）

         k（0，4）

         可得Q（0，2），Q点满足这个方程

         ∴ 所求的轨迹方程是

         解法二：点的坐标同上，过P、R、Q分别作y轴的垂线，垂足分别记作

         ∵

         又∵

         ∴  

         即

         由题已知 三个量同号

         ∴

         设 射线OP方程为

         则

         又R也在OP上，∴

         代入中

        

        

         化简：

                  

         ∵

         则为所求的轨迹方程

                                              

解析:

本题动点Q的运动依赖于①P点的运动。②这样两个关系，又O、Q、R、P、D点共线，可以把P点、R点的坐标分别用动点Q的坐标表示后一起代入③④⑤ 中去整理。化简得轨迹方程；另外也可以过Q、R、P三点分别做y轴的垂线，将转化成这三点纵坐标的关系，再求轨迹方程。本题解法一仍是坐标代换法的一种形式，主要是将动点的相关点的坐标用动点坐标表示后，代入联系着它们的等式中，求出动点的轨迹方程，这里因P点在直线l：上运动，而该直线与y轴可以相交，当P点在 y轴上时，R、Q也相对确定成为定值，所以在解决这个问题时，先两步，第一部P在直线l上，运动不在y轴时（完全是“动态”）情况，第二步必须再看P在y轴时Q点做为定点是否符合所求的轨迹方程。这正是容易被忽略的，必须注意。

         综上，在圆锥曲线的标准方程这部分内容中，应掌握的求曲线方程的基本方法。由于求曲线方程是平面解析几何两个主要内容之一，可以题型多，方法多。但因为坐标轴平移还没学到因而涉及到园锥曲线的一般式的问题后再讲。