Question

如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF，
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF。

Answer 1

证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°， 所以∠BAC+∠BCA-=120°， 因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120°， 于是∠EHD=∠AHC=120°， 因为∠EBD+∠EHD=180°， 所以B，D，H，E四点共圆。
（Ⅱ）连结BH， 则BH为∠ABC的平分线， 得30°， 由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆， 所以30°， 又60°， 由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°， 所以CE平分∠DEF。