Question

证明在抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.?

      

Answer 1

思路分析:不可能是平行四边形,那么到底是什么四边形不太明确,故用反证法.假设是平行四边形,推出矛盾.?

       证明:设抛物线方程为y²=2px,A(x₁,y₁)、?B(x₂,y₂)?、C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄)是抛物线上的四点,且四边形ABCD为平行四边形.?

       由此可得?

       ?

       ①-②得(y₁-y₂)(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂),?

       ∴k_AB=.?

       同理,k_BC=,k_CD=,k_DA=.?

       ∵四边形ABCD是平行四边形,?

       ∴k_AB=k_CD,　k_BC=k_AD,?

       即.?

       ∴?

       ∴y₁=y₃,y₂=y₄,进而得x₁=x₃,x₂=x₄.于是A、C重合,B、D重合.这与A、B、C、D是抛物线上不同的四点的假设矛盾.故四边形ABCD不可能是平行四边形.?

       温馨提示:反驳推理中常见的矛盾形式有:(1)与已知公理矛盾,(2)与已知定理矛盾,(3)与已知定义矛盾,(4)与已知条件(或部分条件)矛盾,(5)与由已知条件推出的某正确结论矛盾,(6)与反设自身矛盾,(7)由反设导出两个互相矛盾的结果.