题目内容
已知抛物线y2=2x．（1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为
；（2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1，y2表示出来；
（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积．
【答案】分析：（1）根据P1和P2的坐标可表示出P1P2的中点的坐标，进而求得P3的横坐标和纵坐标．代入△P1P2P3的面积表达式，化简整理即可．
（2）根据P1和P3的坐标可表示出P1P3的中点的坐标，可求出点Q1的横、纵坐标和点Q2的横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积．
（3）根据线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于
+（
+
）可得到答案．
解答：解：（1）∵P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2，y2），
∴P1P2的中点为
点P3的横坐标
，纵坐标
△P1P2P3的面积=
的绝对值
=
=
=
=
=
．
（2）∵P1的坐标为（x1，y1），
P3的坐标为
，
∴P1P3的中点为
，
点Q1的横坐标
，纵坐标
同理，点Q2的横坐标
，纵坐标
△P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积
=
的绝对值+
的绝对值
=
=
-y2|•|（y2-y1）2|
=
．
（3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积
S=
+（
+
）
=
=
．
点评：本题主要考查抛物线的基本性质和用行列式的方法求面积．考查计算能力和综合运用能力．
（2）根据P1和P3的坐标可表示出P1P3的中点的坐标，可求出点Q1的横、纵坐标和点Q2的横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积．
（3）根据线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于
+（+）可得到答案．解答：解：（1）∵P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2，y2），
∴P1P2的中点为
点P3的横坐标
，纵坐标△P1P2P3的面积=
的绝对值=
=
=
=
=
．（2）∵P1的坐标为（x1，y1），
P3的坐标为
，∴P1P3的中点为
，点Q1的横坐标
，纵坐标同理，点Q2的横坐标
，纵坐标△P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积
=
的绝对值+的绝对值=
=
-y2|•|（y2-y1）2|=
．（3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积
S=
+（+）=
=
．点评：本题主要考查抛物线的基本性质和用行列式的方法求面积．考查计算能力和综合运用能力．
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已知抛物线y2=2x，设点A的坐标为（
，0），则抛物线上距点A最近的点P的坐标为（ ）
| 2 |
| 3 |
| A、（0，0） |
| B、（0，1） |
| C、（1，0） |
| D、（-2，0） |
已知抛物线y2=2x．