Question

平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.

Answer 1

思路分析：本题考查抛物线定义及标准方程的应用.根据题意，到定点的距离与到定直线的距离有某一关系，可以考虑其轨迹方程为抛物线.

解法一：设P点的坐标为(x，y)，则有

=|x|+1.

两边平方并化简得y²=2x+2|x|，∴y²=,

即点P的轨迹方程为y²=4x(x≥0)或y=0(x＜0).

解法二：由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y=0上的点适合条件；

当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x=-1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，方程为y²=4x.

故所求动点P的轨迹方程为y²=4x(x≥0)或y=0(x＜0).

    方法归纳 求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系,化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重解或漏解.