Question

已知△ABC中，O为外心，H为垂心，AH=1，BH=

2

，BC=

3

，

OH

=

OA

+

OB

+

OC

，则S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=（　　）

• A．1：

  2

  ：

  3

• B．1：

  3

  ：2
• C．

  2

  ：

  3

  ：1
• D．

  2

  ：1：

  3

Answer 1

分析：过点O作垂线OD交BC与点D，并延长使得OE=2OD，根据

OH

=

OA

+

OB

+

OC

可得

OH

=

OA

+

OE

则四边形OAHE为平行四边形，从而可求出OB的长和S_△BOC，然后根据

OH

-

OB

=

BH

=

OA

+

OC

，两边平方可求出∠AOC，从而可求出S_△AOC，根据∠AOB=360°-∠BOC-∠AOC，可求出S_△AOB，即可求出所求．

解答：解：过点O作垂线OD交BC与点D，并延长使得OE=2OD
∵

OH

=

OA

+

OB

+

OC

，
∴

OH

=

OA

+

OE

则四边形OAHE为平行四边形
则AH=OE=1即OD=

1

2

OE=

1

2

∵BC=

3

∴S_△BOC=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

∵OD=

1

2

，BD=

3

2

∴OA=OB=OC=1
∵

OH

=

OA

+

OB

+

OC

，
∴

OH

-

OB

=

BH

=

OA

+

OC

则|

BH

|2=|

OA

+

OC

|2即2=1+1+2cos∠AOC
∴∠AOC=90°
而S_△BOC=

3

4

=

1

2

sin∠BOC
则∠BOC=120°，∠AOB=360°-90°-120°=150°
∴S_△AOB=

1

2

sin∠AOB=

1

2

×

1

2

=

1

4

S_△AOC=

1

2

sin∠AOC=

1

2

×1=

1

2

∴S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=

1

4

：

3

4

：

1

2

=1：

3

：2
故选B．

点评：本题主要考查了平面向量及应用，以及三角形的垂心和外心，同时考查了运算求解的能力，属于难题．