[题目]已知正方形的边长为.将沿对角线折起.使平面平面.得到如图所示的三棱锥.若为边的中点.分别为上的动点.且.设.则三棱锥的体积取得最大值时.三棱锥的内切球的半径为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为边的中点，分别为上的动点（不包括端点），且，设，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为_______.

【答案】

【解析】

先根据条件得到BO⊥平面ACD；进而求出三棱锥N﹣AMC的体积的表达式，即可求出结论．

因为正方形ABCD的边长为2，

所以：AC=4

又平面ABC⊥平面ACD，O为AC边的中点

∴BO⊥AC；

所以BO⊥平面ACD

∴三棱锥N﹣AMC的体积

y=f（x）=S△AMCNO

=×ACCMsin∠ACMNO

=××4x×（2﹣x）

=（﹣x2+2x）

=﹣（x﹣1）2+

当x=1即时，三棱锥的体积取得最大值

设内切球半径为r

此时

解得r=

故答案为：

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，，作出函数图象如图所示

，由有三个不同的零点

，如图

令

得

为满足有三个零点，如图可得

，

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