Question

（2012•洛阳模拟）如图，在△ABC中，|AB|=|AC|=

7

2

，|BC|=2，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点A₁作直线l与圆E：（x-1）²+y²=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定A，C的坐标，即可得到P的坐标，利用椭圆的定义，求得长轴长，进而可求椭圆的方程；
（2）椭圆的右顶点A₁（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径r=

2

，假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，则可得∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离，分类讨论：当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2；当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，求出圆心E（1，0）到直线l的距离即可得到结论．

解答：解：（1）∵|AB|=|AC|=

7

2

，|BC|=2
∴|BO|=|OC|=1，|OA|=

|AC|2-|OC|2

=

49 4 -1

=

3 5

2

…（2分）
∴B(-1，0)，C(1，0)，A(0，

3 5

2

)
∴P(

1

2

，

3 5

4

)…（4分）
依椭圆的定义有：2a=|PB|+|PC|=

( 1 2 +1)2+( 3 5 4 -0)2

+

( 1 2 -1)2+( 3 5 4 -0)2

=

9

4

+

7

4

=4
∴a=2，…（6分）
又c=1，∴b²=a²-c²=3…（7分）
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（8分）
（2）椭圆的右顶点A₁（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径r=

2

．
假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，则∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离d=

2

2

r=1…（10分）
当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1（符合）…（11分）
当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
∴圆心E（1，0）到直线l的距离d=

|k|

k2+1

=1，无解…（13分）
综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，此时l方程为x=2…（14分）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．