Question

数列{a_n}满足a₁=a，an+1=

an+3 2

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）当a=

1

2

时，证明：an＜

3

2

；
（Ⅲ）设数列{a_n-1}的前n项之积为T_n．若对任意正整数n，总有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为a_n+1=a_n，所以an=

an+3 2

，解得an=

3

2

或a_n=-1（舍去）．
由n的任意性知，a1=a=

3

2

．（3分）
（Ⅱ）反证法：
假设an≥

3

2

，则

3+an-1 2

≥

3

2

，得an-1≥

3

2

，
依此类推，an-2≥

3

2

，，a2≥

3

2

，a1≥

3

2

，与a1=

1

2

矛盾．
所以an＜

3

2

．（8分）
（Ⅲ）由已知，当n≥2时，2a_n²=a_n-1+3，2（a_n²-1）=a_n-1+1，2（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，
所以2(an-1)=

an-1+1

an+1

．
同理2(an-1-1)=

an-2+1

an-1+1

，2(a3-1)=

a2+1

a3+1

，2(a2-1)=

a1+1

a2+1

．
将上述n-1个式子相乘，得2n-1(a2-1)(a3-1)(an-1-1)(an-1)=

a1+1

an+1

，
即2n-1×

Tn

a1-1

=

a1+1

an+1

，(an+1)Tn=

a 21 -1

2n-1

．
所以

a12-1

2n-1

≤6对任意n≥2恒成立．
又n=1时，（a₁+1）（a₁-1）=a₁²-1≤6，
故a₁²≤6×2^n-1+1对任意n∈N^*恒成立．
因为数列{6×2^n-1+1}单调递增，所以a₁²≤6×1+1=7，
即a的取值范围是[-

7

，

7

]．（14分）