Question

数列{a_n}满足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)
（1）若b_n=a_n-2，求证{b_n}为等比数列；    
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由an =

1

2

an-1+1，n≥2，知an-2=

1

2

(an-1-2)，所以bn=

1

2

bn-1，n≥2，由此能证明{b_n}是等比数列．
（2）由b₁=a₁-2=-1，知bn=(-1)×(

1

2

)n-1，由b_n=a_n-2，能求出a_n．

解答：（1）证明：∵an =

1

2

an-1+1，n≥2，
∴an-2=

1

2

(an-1-2)，
∴bn=

1

2

bn-1，n≥2，
∴{b_n}是公式为

1

2

的等比数列．
（2）解：b₁=a₁-2=-1，
bn=(-1)×(

1

2

)n-1，
∴an=bn+2=2-

1

2 n-1

，n∈N^*．

点评：本题考查等比数列的证明和数列通项公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意递推公式的灵活运用．