Question

设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）当B锐角时，求cosA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）所求式子利用诱导公式化简，根据B为锐角确定出B的度数，代入后利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的取值范围．

解答：解：（1）由正弦定理得：sinA=2sinB•sinA，
∵在△ABC中，sinA≠0，
∴sinB=

1

2

，
∴B=

π

6

或B=

5π

6

；
（2）∵B为锐角，即B=

π

6

，
∴cosA+sinC=cosA+sin[π-（A+B）]=cosA+sin（

π

6

+A）=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin（A+

π

3

），
∵A∈（0，

5π

6

），
∴A+

π

3

∈（

π

3

，

7π

6

），
∴sin（A+

π

3

）∈（-

1

2

，1]，
∴cosA+sinC的取值范围为（-

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．