Question

设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=

3

ac+b2，求B的大小和cosA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：结合已知条件a2+c2=

3

ac+b2的特点，考虑利用余弦定理cosB=

a2+c2- b2

2ac

可求B=30°，C=150°-A，代入cosA+sinC=cosA+sin（150°-A），再利用和差角及辅助角公式进行整理可求

解答：解：由a2+c2=

3

ac+b2和余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

2

，（3分）
所以B=

π

6

．（4分）
cosA+sinC=cosA+sin(π-

π

6

-A)=cosA+sin(

π

6

+A)=cosA+

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin(A+

π

3

)．（9分）
∵0＜A＜

5π

6

∴

π

3

＜A+ 

π

3

＜

7π

6

所以-

3

2

＜

3

sin(A+

π

3

)≤

3

所以，cosA+sinC的取值范围为（-

3

2

，

3

]．（12分）

点评：本题综合考查了余弦定理的应用，三角形的内角和定理的应用，和差角公式及辅助角公式的应用，属于基本知识的简单综合，要注意各个公式的灵活运用．