Question

（2011•惠州模拟）设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，c=

13

，sinA=4sinB．
（1）求b边的长；
（2）求角C的大小；
（3）求三角形ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理列出关系式，将a的值代入，与已知的等式比较，即可求出b的值；
（2）利用余弦定理表示出cosC，将a，b及c的值代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（3）由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）依正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：bsinA=asinB，
又a=4，sinA=4sinB，
则b=1；           
（2）依余弦定理有cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

16+1-13

2×4×1

=

1

2

，
又0＜C＜180°，∴C=60°；                 
（3）a=4，b=1，sinC=

3

2

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×1×sin60°=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．