题目内容
已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+
的最小值是 ．
【答案】分析：通过换元，化简函数式，利用基本不等式求出最小值．
解答：解：设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m，
=2（m-1）（n-1）+
=2（（mn-m-n+1）+
）
=2（（3-m-n）+
）
∵
∴原式的最小值为12
方法二：
∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2
令
=t＞则xy=
即1-t2≥2t 则0＜t≤
-1，则0＜t2=2xy≤3-2
不妨令u=2xy∈（0，3-2
]
则4xy+
=2u+
，在区间（0，3-2
]上单调递减
故当u=3-2
时4xy+
取最小值12
故答案为：12
点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值，需要注意满足的条件：一正、二定、三相等．
解答：解：设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m，
=2（m-1）（n-1）+
=2（（mn-m-n+1）+
）=2（（3-m-n）+
）∵
∴原式的最小值为12
方法二：
∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2
令
=t＞则xy=
即1-t2≥2t 则0＜t≤
-1，则0＜t2=2xy≤3-2
不妨令u=2xy∈（0，3-2
]则4xy+
=2u+
，在区间（0，3-2
]上单调递减故当u=3-2
时4xy+
取最小值12故答案为：12
点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值，需要注意满足的条件：一正、二定、三相等．
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