Question

已知正数x，y满足x+2y=3，当xy取得最大值时，过点P（x，y）引圆(x-

1

2

)2+(y+

1

4

)2=

1

2

的切线，则此切线段的长度为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  6

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用基本不等式求出 xy≤

9

8

，此时点P（

3

2

，

3

4

），求出点P到圆心（

1

2

，-

1

4

）的距离d 及圆的半径，由勾股定理可得切线段的长度为

d2-r2

=

6

2

．

解答：解：∵正数x，y满足x+2y=3，
∴3≥2

x•2y

，xy≤

9

8

，
当且仅当x=2y=

3

2

，即 x=

3

2

，y=

3

4

时，等号成立，
故点P（

3

2

，

3

4

）．
由于点P到圆心（

1

2

，-

1

4

）的距离d=

1+1

=

2

，半径r=

2

2

，
由勾股定理可得切线段的长度为

d2-r2

=

6

2

．
故选：C．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线和圆的位置关系，求出点P（

3

2

，

3

4

），是解题的关键．