Question

【题目】已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调减区间为（2）

【解析】

（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后分别解不等式和，即可得出该函数的减区间和增区间；

（2）由题意得出不等式对任意的恒成立，构造函数，利用导数分析出函数在区间上的单调性，得出该函数的最大值，结合，可求出实数的取值范围.

（1）当时，，其定义域为，

则，当时，当时，

故函数的单调递增区间为，单调减区间为；

（2）不等式，即，即，

由题可知在上恒成立，

令，则，

令，则，

①若，则，函数在上单调递增，

所以，则，不符合题意；

②若，则当时，函数在上单调递增，

所以当时，，则，不符合题意；

③若，则在上恒成立，函数在上单调递减，

所以，所以，符合题意．

综上，，故实数的取值范围为．