Question

【题目】如图所示，在多面体中，矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直，，，为的中点，且，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1)要证平面，即证，构造四边形，证明其为平行四边形即可；

(2) 以为原点，分别以、、为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：如图，

取的中点，连结.

∵是的中点，是的中点.

∴，.

又，.∴，.

∴四边形是平行四边形，∴.

又∵平面，平面.

∴平面.

（2）∵平面平面，，平面平面，

∴平面.∴，.

∵，，∴.

如图，以为原点，分别以、、为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

∴，.

设平面的一个法向量为，

则，令，得，，∴.

又，∴.

∴直线与平面所成角的正弦值为.