Question

【题目】已知函数 （a∈R）
（1）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若对任意的正整数[﹣1，1）都有 成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

当a 时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当- ＜a＜0时，f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增；

当a≥0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．

（2）解： ＞0．

令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需对x∈（0，1]，有g（x）＞0．

g′（x）=f（x）=﹣aln（x+1）+ ﹣a﹣1．

由（1）可知，

①当 时，g（x）在（0，1]上单调递增，g（x）＞g（0）=0，符合题意；

②当a≥0，g（x）在（0，1]上单调递减，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；

③当- ＜a 时，g（x）在（0， ）上单调递减，∴当x∈（0，﹣ ）时，g（x）＜g（0），不符合题意；

④当 ＜a＜0时，g（x）在（0，1]上单调递减，∴当x∈（0，1]时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．

综上可知，a的取值范围为（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）把 ，转化为 ＞0．令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需对x∈（0，1]，有g（x）＞0． g′（x）=f（x）=﹣aln（x+1）+ ﹣a﹣1．结合（1）中函数的单调性分类求解得答案．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．