Question

【题目】函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意可得f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对θ∈R恒成立可转化为，可令x＝sinθ+cosθ，则f（sin2θ）+f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）+f（1﹣cos2θ），可得f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，则可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，再由f（x）的单调性和参数分离，转化为求最值，即可得到所求范围．

解：f（x）＝x3+2019x﹣2019﹣x+1，

可得f（x）＝﹣x3+2019﹣x﹣2019x+1，

则f（x）+f（x）＝2，

f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，

即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），

f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对θ∈R恒成立，

可令x＝sinθ+cosθ，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），

可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，

由于f（x）在R上递增，f（x）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，

则f（x）在R上递增，

可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，

即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，

设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2

再令sinθ+cosθ＝m，则msin（θ），

则m，

则g（m）＝m2+m﹣2，其对称轴m，

故当m时，g（m）取的最大值，最大值为22．

则t，

故答案为：（，+∞）