Question

【题目】试比较nn＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．

Answer 1

【答案】答案见解析

【解析】试题分析：本题考査的知识点是归纳推理与数学归纳法,可以取 ，列出与的前项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明时命题也成立即可.

试题解析：当n＝1时，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此时，nn＋1＜(n＋1)n，

当n＝2时，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此时，nn＋1＜(n＋1)n，

当n＝3时，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此时，nn＋1＞(n＋1)n，

当n＝4时，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此时，nn＋1＞(n＋1)n，

根据上述结论，我们猜想：当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．

证明：①当n＝3时，nn＋1＝34＝81＞(n＋1)n＝43＝64，

即nn＋1＞(n＋1)n成立；

②假设当n＝k时，kk＋1＞(k＋1)k成立，即＞1，

则当n＝k＋1时，＝(k＋1)()k＋1＞(k＋1)()k＋1＝＞1，

即(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1成立，即当n＝k＋1时，猜想也成立，

∴当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．