Question

【题目】已知函数，其图象与x轴交于两点，且.

（1）证明： ；

（2）证明： ；（其中为的导函数）

（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等边三角形，记，求的值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .

【解析】试题分析：(1)讨论a的符号,判断的单调性,计算的极值,根据零点个数得出的极小值为负数,列出不等式解出a;

(2)计算,根据函数单调性判断的符号即可;

(3)用表示出P点坐标,根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系,再计算的值.

试题解析：（1）∵ ，

若，则，则函数在R上单调递增，这与题设矛盾.

，易知在上单调递减，在上单调递增，

.

（2）∵，∴两式相减得.

记，则，

设则是单调减函数，

则有，而.

（3）由得，

设，在等边三角形ABC中，易知，

由等边三角形性质知，

即，

，

∵，

，

，又∵，

.