Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n，求S_n+1-4S_n的最大值．

Answer 1

（1）由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，
所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，
于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4^n-1+n．
所以数列{a_n}的前n项和S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

，S_n+1=

4n+1-1

3

+

(n+2)(n+1)

2

所以S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4），
故n=1，最大值为：0．