Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）由焦距的概念和a，b，c的关系，及正三角形的概念，即可得到a，b方程，解方程可得椭圆的方程；
（2）设T点的坐标为（-3，m），运用直线的斜率公式，由垂直的条件，可得直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，设PQ的中点为M，结合斜率公式，可得直线OT和OM的斜率相等，即可得证．

解答 解：（1）由已知可得，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2，2b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
解得a²=6，b²=2，
所以椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）证明：由（1）可得，F的坐标是（-2，0），
设T点的坐标为（-3，m），
则直线TF的斜率k_TF=$\frac{m-0}{-3-（-2）}$=-m．
当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{1}{m}$．直线PQ的方程是x=my-2．
当m=0时，直线PQ的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
消去x，得（m²+3）y²-4my-2=0，
其判别式△=16m²+8（m²+3）＞0．
所以y₁+y₂=$\frac{4m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{3+{m}^{2}}$，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=$\frac{-12}{3+{m}^{2}}$．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为（$\frac{-6}{3+{m}^{2}}$，$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$），
所以直线OM的斜率k_OM=-$\frac{m}{3}$，又直线OT的斜率k_OT=-$\frac{m}{3}$，
所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，斜率公式和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．