Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，点分别为椭圆与坐标轴的交点，且.过轴上定点的直线与椭圆交于，两点，点为线段的中点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题设知椭圆的离心率和的关系，结合，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）分直线MN的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线MN的方程与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系，求得点Q的坐标，得出点Q到AB的距离，求得面积的表达式，利用基本不等式，即可求解．

（1）由题意，椭圆的离心率为，所以，

其中，，

由，得.

又由，得，，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）直线的方程为，

①当直线的斜率时，直线过点交椭圆于左右顶点，则中点为坐标原点，此时，

②当直线的斜率时，设直线的方程为，

联立方程组，得，∴点为，

∴点到直线的距离为，

∵点在直线的下方，即，

∴，

∴，

设，令，则，

当时，，

当时，，

当且仅当，即时等号成立，此时，

当时，，此时，

综上所述，的最大值为.