Question

【题目】已知函数．

（1）若函数的最小值为2，求的值；

（2）当时，证明：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）由题可知，的定义城为，且，分类讨论参数，当和当，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当时，，取得最小值，结合已知的最小值为2，即可求出的值；

（2）当，结合第（1）可知，将证明转化为只要证，构造新函数，通过导数研究函数的单调性，进而得出当时，，即，即可证明出．

解：（1）的定义城为，

且，

函数的最小值为2，

若，则，于是在上单调递增，

故无最小值，不合题意，

若，则当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

于是当时，，取得最小值，

由已知得，解得．

综上可知．

（2）∵由（1）得，当时，取得最小值，

所以当时，取得最小值，即，

则，即：，

由题知，当时，证明：，

∴要证，只要证，

∴令，则，

∴当时，，

所以在上单调递增．

∴当时，，即，

∴当时，不等式成立．