Question

三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A垂直于底面ABC，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分别为A₁B₁，AB中点，求证：
（1）平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）A₁B⊥AM。

Answer 1

证明：（1）∵M，N分别为A₁B₁，AB中点，
∴，
∴B₁N∥AM，
又，
∴，
连接MN，在四边形，
同理得，
，
∴平面B₁CN∥平面AMC₁；
（2）∵B₁C₁=A₁C₁，M为A₁B₁中点，
∴，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧棱A₁A垂直于底面ABC，平面A₁AB₁B垂直于底面ABC交线AB，
∴，
∴，
又AC₁⊥A₁B，
∴，
，
∴A₁B⊥AM。