Question

（2013•济南二模）如图，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．
求证：
（1）EC⊥平面ABC；
（2）求三棱锥A₁-EFC的体积．

Answer 1

分析：（1）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足．易得四边形OCEA₁为平行四边形，进而可得EC∥A₁O，且EC=A₁O．再由已知和面面垂直的性质可得所以A₁O⊥底面ABC，进而可得结论；
（2）F到平面A₁EC的距离等于B点到平面A₁EC距离BO的一半，可得BO=

3

，所以VA1-EFC=VF-A1EC，代入数据计算可得．

解答：证明：（1）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足．
因为∠A1AC=600，所以AO=

1

2

AA1=

1

2

AC，
即O为AC的中点，所以OC∥A₁E，且OC=A₁E…（3分）
可得四边形OCEA₁为平行四边形，故EC∥A₁O，且EC=A₁O．
因为侧面AA&₁C₁C⊥底面ABC，交线为AC，A₁O⊥AC，
所以A₁O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC．…（6分）
（2）F到平面A₁EC的距离等于B点到平面A₁EC距离BO的一半，而BO=

3

．…（8分）
所以VA1-EFC=VF-A1EC=

1

3

S△A1EC•

1

2

BO=

1

3

•

1

2

A1E•EC•

3

2

=

1

3

•

1

2

•

3

•

3

2

=

1

4

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，涉及三棱锥体积的求解，属中档题．