Question

三棱柱中，∠ABC=90°，BB₁⊥底面ABC，D为棱AC的中点，且AB=BC=BB₁=1。
（1）求二面角A₁-BD-C的余弦值；
（2）棱CC₁上是否存在一点P，使PD⊥平面A₁BD；若存在，试确定P点位置，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）以B为坐标原点，射线BC为x轴的正半轴， 建立如图所示的直角坐标系B-xyz， A（0，1，0），C（1，0，0）， ，，，， 设平面的一个法向量， 又， ∴， 令x=1，可得， 又平面BDC的一个法向量为， 设二面角的大小为，可知为钝角，故。 （2）设P（1，0，z），则， 要使PD⊥平面，则需， 可得，故， 即当P是CC1的中点时，所以PD⊥平面。