Question

17．已知各项均为正数的数列{a_n}满足：S_n为数列{a_n}的前n项和，且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=n•a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差数列．可得2a_n=S_n+2，再利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2，a_n，S_n成等差数列．
∴2a_n=S_n+2，
∴n=1，2a₁=a₁+2，解得a₁=2；
当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2，∴2a_n-2a_n-1=a_n，化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}成等比数列，首项为2，公比为2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）c_n=n•a_n=n•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2²+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．