Question

6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0（x₁≠x₂），若实数a满足f（log₃a^-1）+2f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$a）≥3f（1），则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，3]
• B． [1，3]
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （0，3]

Answer 1

分析 由$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0（x₁≠x₂），
∴此时函数为减函数，
则f（log₃a^-1）+2f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$a）≥3f（1），等价为f（-log₃a）+2f（-log₃a）≥3f（1），
即3f（log₃a）≥3f（1），
则f（log₃a）≥f（1），
即f（|log₃a|）≥f（1），
即|log₃a|≤1，
则-1≤log₃a≤1，
即$\frac{1}{3}$≤a≤3，
故选：A

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．