Question

【题目】已知圆的圆心在直线： 上，与直线： 相切，且截直线： 所得弦长为6

（Ⅰ）求圆的方程

（Ⅱ）过点是否存在直线，使以被圆截得弦为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在直线.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的圆心在直线： 上，故可设圆心坐标为，再根据圆与直线相切，截直线： 所得弦长为6，列出等式方程求解即可；（2）由题意过的直线斜率一定存在，设直线的方程为，以为直径的圆过原点，则，设， ，则，联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，由，利用韦达定理即可求出.

试题解析：（Ⅰ）设圆心

∵圆与直线相切

∴

∵ 圆截直线： 所得弦长为6

∴圆到直线的距离为

∴

∴

∴圆心，

∴圆的方程

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时， 不符合题意

②设：

设

∵被圆截得弦为直径的圆经过原点

∴，即

∴

联立直线与圆的方程

化简可得，即

∴，

∵， ，

∴，即

∴

∵

∴无解

∴不存在直线.