Question

经过抛物线y²=2p（x+2p）（p＞0）的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程．

Answer 1

分析：利用参数法求解，设直线AB的斜率为k，用k来表示线段BC的中点M的坐标，消去参数k即可得线段BC的中点M轨迹方程．

解答：解：A（-2p，0），
设直线AB的方程为y=k（x+2p）（k≠0）．
与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为（

2p

k2

-2p，

2p

k

），
由于AC与AB垂直，则AC的方程为y=-

1

k

（x+2p），
与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为（2k²p-2p，-2kp），
又M为BC中点，设M（x，y），
则

x= p k2 +k2p-2p y= p k -kp

，
消去k得y²=px，即点M的轨迹是抛物线．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题，参数法是指，若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．