Question

给定常数，定义函数，数列满足.
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.

Answer 1

见解析

（1）因为，，故，

（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，

即只需证明
若，显然有成立；
若，则显然成立
综上，恒成立，即对任意的，
（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有
此时，
即
故，
即，
当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；
若，则，
此时，也满足题意；
综上，满足题意的的取值范围是．
【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题。