Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）若，，且函数在上是单调函数，求实数的值；

（3）若，若当时，总有，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用偶函数的定义解得m；

（2）由最高点的坐标，求得，再利用单调性得，求得的值．

（3）设函数的值域为，的值域为，由题意和子集的定义，得，得到不等式恒成立，两边分别分离参数m，得到m的范围.

解：（1）设，则

由于是偶函数，所以对任意，成立．

即 恒成立．

即 恒成立，

所以 ，解得 ．

所以所求实数的值是 ．

（2）由，

得，即

当时， ，

因为在区间的单调递增，所以，再由题设得

所以．

（3）设函数在上的值域为，在上的值域为，

由题意和子集的定义，得．

当时，，．

所以当时，不等式恒成立，

由恒成立，得，

由恒成立，得，

综上，实数的取值范围为 ．