Question

【题目】已知曲线：（为参数）和曲线:(为参数).

（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线：（为参数）距离的最小值及此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）距离最小值为，点坐标为.

【解析】

(1)消去参数和参数即可确定曲线的普通方程，然后由方程确定其表示曲线的形状和位置即可；

（2）由题意可得，结合中点坐标公式可设. 利用点到直线距离公式和三角函数的性质确定距离的最小值及点的坐标即可.

（1）分别消去曲线和中的参数，

可得到：，：.

是圆心为，半径为的圆.

是中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆.

（2）当时，，

设，故.

为直线，

到的距离，

从而当,即，，取最小值.

所以，此时点的坐标为.